Question

18．設(shè)函數(shù)$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$，a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，已知$cosB=\frac{1}{3}，f（\frac{C}{2}）=-\frac{1}{4}$，其中角C為銳角，則sinA=（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{6}$

Answer 1

分析 首先化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$求出角C的正弦值，進(jìn)而求出角C的大小；然后求出角B的正弦、余弦，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，求出sinA的值即可．

解答 解：f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
∴f（$\frac{C}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=-$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵C為銳角，C=$\frac{π}{3}$，
因?yàn)樵凇鰽BC 中，cosB=$\frac{1}{3}$，所以sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的最值以及最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題．