Question

【題目】已知函數(shù)的周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，若先把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，試判斷在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）先根據(jù)周期和對(duì)稱中心可以求得，結(jié)合圖象變換可得的解析式；

（2）先把的表達(dá)式求出，結(jié)合的取值討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）因?yàn)?/span>的周期為2，所以，

，又因?yàn)?/span>的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，

所以，因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以.

（2）由（1）可知，，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，則，

設(shè)，，則，

①當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，

這時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)不等零點(diǎn)，

這時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，，由，得或，

這時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn).

④當(dāng)時(shí)，，由，得或（舍），

這時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上可得，當(dāng)或時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn).