Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）記函數的極值點為，若，且，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）對求導，由得到函數的單調區(qū)間。

（2）利用極值求出，然后構造函數，利用函數單調性、最值進行求解。

詳解：(1)，令，則，

當時，，當時，，

則函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（2）由可得，所以的極值點為.

于是，等價于,

由得且.

由整理得，，即.

等價于，①

令，則.

式①整理得，其中.

設,.

只需證明當時，.

又，設 ，

則

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增.

所以,；

注意到，，

，

所以，存在，使得，

注意到，，而，所以.

于是，由可得或；由可得.

在上單調遞增，在上單調遞減.

于是，，注意到，，，

所以，，也即，其中.

于是，.