【題目】已知拋物線,不過坐標(biāo)原點的直線交于,兩點.

(Ⅰ)若,證明:直線過定點;

(Ⅱ)設(shè)過且與相切的直線為,過且與相切的直線為.當(dāng)交于點時,求的方程.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】

試題設(shè),.

(Ⅰ)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,得到則,再由,

所以,代入求得,即可判定直線過定點.

(Ⅱ)解法一:設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用,求得,

得到韋達定理,在利用斜率公式,求得直線的斜率,進而得到直線的方程;

解法二:由,則過且與相切的直線的斜率為,的斜率為,轉(zhuǎn)化為方程的兩個實根,求得的值,進而求解直線的方程;

解法三:由,則過且與相切的直線的斜率為,同理,的斜率為.

得到切線,的方程,代入點,得,,即可得到直線的方程.

試題解析:

設(shè),.

(Ⅰ)解:顯然直線的斜率存在,設(shè)為,直線的方程為.由題意,.

,得.

由題意,該方程的判別式,即.

,.

因為,所以,所以

,即 .

所以.

所以.解得(舍去),或.

當(dāng)時,,滿足式.

所以直線的方程為.直線過定點.

(Ⅱ)解法一:過點且與相切的直線的斜率必存在,設(shè)其斜率為,則其方程為,即.

消去并整理得.

由判別式,解得.

不妨設(shè)的斜率,則的斜率.

由韋達定理,得,即.

.所以.

同理可得.

直線的方程為 ,

即直線的方程為.

解法二:,所以過且與相切的直線的斜率為.

同理,的斜率為.

,即.同理.

因為的交點的坐標(biāo)為方程組的解,

所以,且.

所以方程,即的兩個實根是.

,解得.

又點,上,可得,.

直線的方程為 ,

即直線的方程為.

解法三:,所以過且與相切的直線的斜率為.同理,的斜率為.

所以,切線,即.

是拋物線上的點,所以,即.

故切線的方程為.同理切線的方程為.

又切線與切線均過點,故,.

所以切點、的坐標(biāo)適合方程.所以的方程為.

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