【題目】已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,該橢圓經(jīng)過點P(1,),且離心率為

Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

Ⅱ)過橢圓長軸上一點S(1,0)作兩條互相垂直的弦AB、CD.若弦AB、CD的中點分別為M、N,證明:直線MN恒過定點.

【答案】(1)(2)

【解析】

(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出,e=,由此能求出橢圓方程.

Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為x=my+s,m0,則直線CD的方程為x=﹣,聯(lián)立,得M(),將M的坐標(biāo)中的m用﹣代換,得CD的中點N(),從而得到直線MN的方程為x﹣y=,由此能證明直線MN經(jīng)過定點().

Ⅰ)解:∵點P(1,)在橢圓上,∴,又∵離心率為,e=,a=2c,4a2﹣4b2=a2,解得a2=4,b2=3,

∴橢圓方程為

Ⅱ)證明:設(shè)直線AB的方程為x=my+s,m≠0,則直線CD的方程為x=﹣,聯(lián)立,得(3m2+4)y2+6smy+3s2﹣12=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,x1+x2=(my1+s)(my2+s)=m2y1y2+ms(y1+y2)+s2=,

由中點坐標(biāo)公式得M(,﹣),將M的坐標(biāo)中的m用﹣代換,得CD的中點N(,

∴直線MN的方程為x﹣y=,m≠±1,令y=0得:x=,∴直線MN經(jīng)過定點(),

當(dāng)m=0,±1時,直線MN也經(jīng)過定點(),綜上所述,直線MN經(jīng)過定點().

當(dāng)時,過定點

練習(xí)冊系列答案
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(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績;(精確到個位)

(2)研究發(fā)現(xiàn),本次檢測的理科數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布約為),按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),理科數(shù)學(xué)成績能達到自主招生分?jǐn)?shù)要求的同學(xué)約占.

(ⅰ)估計本次檢測成績達到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績大約是多少分?(精確到個位)

(ⅱ)從該市高三理科學(xué)生中隨機抽取人,記理科數(shù)學(xué)成績能達到自主招生分?jǐn)?shù)要求的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.(說明:表示的概率.參考數(shù)據(jù):

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),),過點的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

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