Question

已知中心在原點的橢圓C的左焦點F（-

3

，0），右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為

1

2

的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求弦長|AB|的最大值及此時l的直線方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知：c=

3

，a=2，又b²=a²-c²．即可得出橢圓C的方程．
（2）設直線l的方程為y=

1

2

x+b，與橢圓方程聯(lián)立可得x²+2bx+2b²-2=0，△≥0，即b²≤2．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關系可得：弦長|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，由于0≤b²≤2，即可得出．

解答： 解：（1）由題意可知：c=

3

，a=2，∴b²=a²-c²=1．
∵焦點在x軸上，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）設直線l的方程為y=

1

2

x+b，由

y= 1 2 x+b x2 4 +y2=1

，
可得x²+2bx+2b²-2=0，
∵l與橢圓C交于A、B兩點，
∴△=4b²-4（2b²-2）≥0，即b²≤2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2b，x₁x₂=2b²-2．
∴弦長|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

10-b2

，
∵0≤b²≤2，
∴|AB|=

10-b2

≤

10

，
∴當b=0，即l的直線方程為y=

1

2

x時，弦長|AB|的最大值為

10

．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．