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【題目】已知，是橢圓：的左、右焦點，離心率為，，是平面內兩點，滿足，線段的中點在橢圓上，周長為12．

（1）求橢圓的方程；

（2）若過的直線與橢圓交于，，求（其中為坐標原點）的取值范圍．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）連接，根據中位線定理結合橢圓的定義得出，再由橢圓的性質，即可得出橢圓的方程；

（2）當直線的斜率不存在時，將直線的方程代入橢圓方程，得出，當直線的斜率存在時，設出直線的方程并代入橢圓方程，結合韋達定理以及向量的數量積公式，得出，根據的范圍，即可得出的取值范圍．

（1）連接，∵

∴是線段的中點

∵是線段的中點，∴，且

由橢圓的定義知，

∴周長為，

由離心率為知，，解得，，∴

∴橢圓的方程為．

（2）當直線的斜率不存在時，直線

代入橢圓方程，解得

此時

當直線的斜率存在時，設直線的方程為

橢圓的方程整理得，

設，，則，

，解得

∴

∵，∴，∴，∴

∴

綜上所述，的取值范圍為．

練習冊系列答案

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參考數據：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974

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