Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），記J_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積．定義能使J_n為整數(shù)的正整數(shù)n為劣數(shù)，則在區(qū)間（1，2014）內(nèi)所有的劣數(shù)和為（　�。�

• A、2026
• B、2046
• C、1024
• D、1022

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：用換底公式與疊乘法把a(bǔ)₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2），再根據(jù)a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，得k=2ⁿ-2，由區(qū)間[1，2014]確定n的取值，求出在區(qū)間（1，2014）內(nèi)所有的劣數(shù)和．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2），（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg(k+2)

lgk+1

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2014]，∴1≤2ⁿ-2≤2014，∴取2≤n≤10；
∴在區(qū)間（1，2014）內(nèi)所有的劣數(shù)和：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義下的數(shù)列求和、換底公式以及疊乘法等知識(shí)，是易錯(cuò)題目．