(本題滿(mǎn)分14分)
已知橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)為橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)分別交直線(xiàn)兩點(diǎn).  
證明:以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn).
(1); (2)

試題分析:(1)由題意可知,, …………1分  而,……………2分
.  …………3分       解得,……………4分
所以,橢圓的方程為.    ……………5分
(2)由題可得.設(shè),   ……………6分
直線(xiàn)的方程為,    ……………7分
,則,即; ……………8分
直線(xiàn)的方程為,   ……………9分
,則,即; ……………10分
證法1:設(shè)點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓上,則,
,         …………11分
,而,即,.                               ……………13分
故以線(xiàn)段為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)
、.                                  ……………14分
證法2:以線(xiàn)段為直徑的圓為
          ………11分
,得,    ……………12分
,即, 
……………13分
故以線(xiàn)段為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)
、.                          ……………14分
證法3:令,則,令,得,同理得.
∴以為直徑的圓為,令解得 
∴圓過(guò)                          ……………11分
由前,對(duì)任意點(diǎn),可得,  
在以為直徑的圓上.
同理,可知也在為直徑的圓上.                   ……………13分
∴故以線(xiàn)段為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)
、.                  …………………14分
點(diǎn)評(píng):此題的第二問(wèn)給出了三種方法來(lái)解答,我們要熟練掌握每一種方法。這是作圓錐曲線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)。屬于中檔題。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知、為橢圓的焦點(diǎn),且直線(xiàn)與橢圓相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn),求△的面積的最大值,并求此時(shí)直線(xiàn)的方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)
如果兩個(gè)橢圓的離心率相等,那么就稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似.已知橢圓與橢圓相似,且橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).
(Ⅰ)試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上,直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn).若線(xiàn)段與線(xiàn)段的中點(diǎn)重合,試判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓?并證明你的判斷.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線(xiàn)為,短軸的一個(gè)端點(diǎn). 設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,點(diǎn)到的距離為. 若,則橢圓的離心率為    

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),是橢圓右焦點(diǎn),則的周長(zhǎng)為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

橢圓的兩焦點(diǎn)是,則其焦距長(zhǎng)為            ,若點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),且 是直角三角形,則的大小是            .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本題滿(mǎn)分12分)
已知橢圓C:的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),A為左頂點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn),且與圓相內(nèi)切,則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程_____________;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案