Question

已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M（a，4）到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和a值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)拋物線的方程為x²=2my，m∈R，根據(jù)點(diǎn)M（a，4）在拋物線上可得m＞0．根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離也是5，即4+

m

2

=5，求得m的值，可得拋物線的方程．把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的方程求得a的值

解答： 解：設(shè)拋物線的方程為x²=2my，m∈R，再根據(jù)點(diǎn)M（a，4）在拋物線上可得拋物線開(kāi)口向上，m＞0．
故焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，焦點(diǎn)為F（0，

m

2

），準(zhǔn)線為y=-

m

2

，
由點(diǎn)M（a，4）到焦點(diǎn)的距離等于5，可得點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離也是5，
即4+

m

2

=5，∴m=2，拋物線的方程為x²=4y．
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得a²=16，∴a=±4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．