Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對應(yīng)的邊，∠C=90°，則

a+b

c

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：通過∠C=90°，得到sinC=1，然后利用正弦定理表示出a與b，代入

a+b

c

，表示出

a+b

c

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個角的范圍，從而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，得到

a+b

c

的范圍．

解答： 解：由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，又sinC=1，
∴a=csinA，b=csinB，
所以

a+b

c

=

csinA+csinB

c

，由A+B=90°，得到sinB=cosA，
則

csinA+csinB

c

=sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
∵∠C=

π

2

∴A∈（0，

π

2

），∴sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
∴

a+b

c

∈（1，

2

]．
故答案為：（1，

2

]．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)正弦定理表示出a與b是本題的突破點(diǎn)，同時要求學(xué)生掌握正弦函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．