Question

【題目】已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為.

（1）證明：直線過定點：

（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) 或.

【解析】

（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點處的切線方程，比如：，又因為也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線方程，最后求出它所過的定點.

（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過為線段的中點，得出的值，從而求出坐標和的值，最后求出圓的方程.

(1)證明：設(shè),,則。又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為.即，當時等式恒成立。所以直線恒過定點.

(2)由(1)得直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：

化簡得.于是,設(shè)為線段的中點，則

由于，而,與向量平行，所以，

解得或.

當時，，所求圓的方程為;

當時，或，所求圓的方程為.

所以圓的方程為或.