Question

若函數(shù)，非零向量，我們稱為函數(shù)的“相伴向量”，為向量的“相伴函數(shù)”.
（1）已知函數(shù)的最小正周期為，求函數(shù)的“相伴向量”；
（2）記向量的“相伴函數(shù)”為，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，若，求的值；
（3）對(duì)于函數(shù)，是否存在“相伴向量”？若存在，求出“相伴向量”；
若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）（1，1）；（2） ；（3）不存在“相伴向量”

解析試題分析：（1）由函數(shù)平方項(xiàng)展開化簡(jiǎn)，再通過化一公式即可得一個(gè)函數(shù)的形式，又因?yàn)樽钚≌�周期�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cc/e/4a6zs3.png" style="vertical-align:middle;" />，即可求得的值.再將函數(shù)展開寫成的形式及可得結(jié)論.
（2）由向量為函數(shù)的“相伴向量”，所以可得到函數(shù).再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù).再根據(jù).通過解三角方程即可得到所求的結(jié)論.
（3）對(duì)于函數(shù)，是否存在“相伴向量”.通過反證法的思想，可證明不存在函數(shù)的“相伴向量”.
（1）


，                          1分
依題意得，故．                           2分
∴，即的“相伴向量”為（1，1）．　　        3分
（2）依題意，，            4分
將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)，                        5分
再將所得的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
即，                            6分
∵，∴，
∵，∴，∴，               8分
∴.         10分
（3）若函數(shù)存在“相伴向量”，
則存在，使得對(duì)任意的都成立，     11分
令，得，
因此，即或，
顯然上式對(duì)任意的不都成立，
所以函數(shù)不存在“相伴向量”．                 13分
(注：本題若化成，直接說明不存在的，給1分)
考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的性質(zhì).2.三角恒等變換.3.三角函數(shù)的圖象.4.新定義問題.5.反正的思想.