已知曲線y=x3-6x2+11x-6．在它對應于x∈[0，2]的弧段上求一點P，使得曲線在該點的切線在y軸上的截距為最小，并求出這個最小值．
解：已知曲線方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y'=3x2-12x+11
在曲線上任取一點P（x0，y0），則點P處切線的斜率是y'|x=x0=3x02-12x0+11
點P處切線方程是y=（3x02-12x0+11）（x-x0）+y0
設這切線與y軸的截距為r，則
r=（3x02-12x0+11）（-x0）+（x03-6x02+11x0-6）=-2x03+6x02-6
根據題意，要求r（它是以x0為自變量的函數）在區(qū)間[0，2]上的最小值
因為r'=-6x02+12x0=-6x0（x0-2）
當0＜x0＜2時r'＞0，因此r是增函數，
故r在區(qū)間[0，2]的左端點x0=0處取到最小值，即在點P（0，-6）處切線在y軸上的截距最小
這個最小值是r最小值=-6
分析：求出曲線方程的導函數，在曲線上取一點設P（x0，y0），把x0代入到導函數中求出切線方程的斜率，根據P點坐標和斜率寫出切線的方程，令x等于0表示出切線在y軸上的截距r，求出r′，判斷r′大于0得到r為增函數，得到r在x0=0處取到最小值，把x0=0代入r求出最小值即可．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線的斜率，會利用導數求閉區(qū)間上函數的最小值，是一道中檔題．
