Question

18、已知曲線y=x³-6x²+11x-6．在它對(duì)應(yīng)于x∈[0，2]的弧段上求一點(diǎn)P，使得曲線在該點(diǎn)的切線在y軸上的截距為最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，在曲線上取一點(diǎn)設(shè)P（x₀，y₀），把x₀代入到導(dǎo)函數(shù)中求出切線方程的斜率，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線的方程，令x等于0表示出切線在y軸上的截距r，求出r′，判斷r′大于0得到r為增函數(shù)，得到r在x₀=0處取到最小值，把x₀=0代入r求出最小值即可．

解答：解：已知曲線方程是y=x³-6x²+11x-6，因此y'=3x²-12x+11
在曲線上任取一點(diǎn)P（x₀，y₀），則點(diǎn)P處切線的斜率是y'|_x=x0=3x₀²-12x₀+11
點(diǎn)P處切線方程是y=（3x₀²-12x₀+11）（x-x₀）+y₀
設(shè)這切線與y軸的截距為r，則
r=（3x₀²-12x₀+11）（-x₀）+（x₀³-6x₀²+11x₀-6）=-2x₀³+6x₀²-6
根據(jù)題意，要求r（它是以x₀為自變量的函數(shù)）在區(qū)間[0，2]上的最小值
因?yàn)閞'=-6x₀²+12x₀=-6x₀（x₀-2）
當(dāng)0＜x₀＜2時(shí)r'＞0，因此r是增函數(shù)，
故r在區(qū)間[0，2]的左端點(diǎn)x₀=0處取到最小值，即在點(diǎn)P（0，-6）處切線在y軸上的截距最小
這個(gè)最小值是r_最小值=-6

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，是一道中檔題．