【題目】已知函數f(x)= cosx(sinx+cosx). (Ⅰ)若0<α< ,且sinα= ,求f(α)的值;
(Ⅱ)求函數f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
【答案】解:(Ⅰ)∵0<α< ,且sinα= , ∴cosα= ,
∴f(α)= cosα(sinα+cosα)
= × ×( + )
= ;
(Ⅱ)函數f(x)= cosx(sinx+cosx)
= (cosxsinx+cos2x)
= sin2x+ cos2x+
=sin(2x+ )+ ,
∴f(x)的最小正周期為π;
令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
∴函數f(x)的單調減區(qū)間為[﹣ +kπ, +kπ],k∈Z
【解析】(Ⅰ)根據同角的三角函數關系,求出sinα、cosα的值,再計算f(α)的值;(Ⅱ)化函數f(x)為正弦型函數,即可求出f(x)的最小正周期和單調減區(qū)間.
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【題目】已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< )的部分圖象如圖所示;
(1)求ω,φ;
(2)將y=f(x)的圖象向左平移θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象的一個對稱點為( ,0),求θ的最小值.
(3)對任意的x∈[ , ]時,方程f(x)=m有兩個不等根,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形.
(1)證明:AB⊥PC;
(2)若AB=2PC= ,求三棱錐P﹣ABC的體積.
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【題目】已知函數f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
(1)判斷f(x)的單調性,并加以證明;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求實數m的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,BC=2AB=4, ,E是A1D1的中點.
(Ⅰ)在平面A1B1C1D1內,請作出過點E與CE垂直的直線l,并證明l⊥CE;
(Ⅱ)設(Ⅰ)中所作直線l與CE確定的平面為α,求點C1到平面α的距離.
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【題目】若函數對定義域內的任意,當時,總有,則稱函數為單調函數,例如函數是單純函數,但函數不是單純函數,下列命題:
①函數是單純函數;
②當時,函數在是單純函數;
③若函數為其定義域內的單純函數, ,則
④若函數是單純函數且在其定義域內可導,則在其定義域內一定存在使其導數,其中正確的命題為__________.(填上所有正確的命題序號)
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【題目】從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高,據測量被測學生身高全部介于155cm和195cm之間,將測量結果按如下方式分成八組:第一組[155,160)、第二組[160,165);…第八組[190,195],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第六組比第七組多1人,第一組和第八組人數相同.
(I)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖;
(Ⅱ)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生,記他們的身高分別為x、y,求滿足|x﹣y|≤5的事件概率.
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