已知是橢圓的兩個焦點,為坐標原點,點在橢圓上,且,⊙是以為直徑的圓,直線:與⊙相切,并且與橢圓交于不同的兩點
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當,且滿足時,求弦長的取值范圍.
(1);(2).
解析試題分析:(1)求橢圓的標準方程,可利用待定系數(shù)法,求出的值即可,由已知,得,可得,把代入橢圓的方程,即可求出的值,從而得橢圓的標準方程;(2)當,且滿足時,求弦長的取值范圍,可利用弦長公式來求,設,由,得,得,由于同時含有,可消元,由直線:與⊙相切,可得,這樣由弦長公式得,可求出的范圍即可,由已知,且滿足,由,可得,從而得的范圍,進而得弦長的取值范圍.
試題解析:(1)依題意,可知,∴,
解得
∴橢圓的方程為 5分
(2)直線:與⊙相切,
則,即, 6分
由,得,
∵直線與橢圓交于不同的兩點
設∴,
,
∴ .9分
∴∴,
∴ .11分
設,
則,
∵在上單調(diào)遞增∴ 13分
考點:橢圓的方程,直線與二次曲線的位置關系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,且過點P,A為上頂點,F(xiàn)為右焦點.點Q(0,t)是線段OA(除端點外)上的一個動點,
過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點M,以QM為直徑的圓的圓心為N.
(1)求橢圓方程;
(2)若圓N與x軸相切,求圓N的方程;
(3)設點R為圓N上的動點,點R到直線PF的最大距離為d,求d的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,若,且.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)已知定點,若斜率為的直線過點并與軌跡交于不同的兩點,且對于軌跡上任意一點,都存在,使得成立,試求出滿足條件的實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心在坐標原點O,右焦點為F.若C的右準線l的方程為x=4,離心率e=.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設點P為準線l上一動點,且在x軸上方.圓M經(jīng)過O、F、P三點,求當圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2:+=1(a>b>0)的兩個焦點.
(1)求橢圓C2的離心率;
(2)設點Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,設P是拋物線C1:x2=y上的動點,過點P作圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A、B兩點.
(1)求圓C2的圓心M到拋物線C1準線的距離;
(2)是否存在點P,使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設動點P(x,y)(x≥0)到定點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大.記點P的軌跡為曲線C.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當M運動時弦長BD是否為定值?說明理由;
(3)過F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.
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