【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,為橢圓上兩點(diǎn),圓.
(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;
(2)若圓的半徑為,點(diǎn)滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題(1)確定圓的方程,就是確定半徑的值,因?yàn)橹本與圓相切,所以先確定直線方程,即確定點(diǎn)坐標(biāo):因?yàn)?/span>軸,所以,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得(2)根據(jù)垂徑定理,求直線被圓截得弦長的最大值,就是求圓心到直線的距離的最小值. 設(shè)直線的方程為,則圓心到直線的距離,利用得,化簡得,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得,因此,當(dāng)時,取最小值,取最大值為.
試題解析:解:(1)
因?yàn)闄E圓的方程為,所以,.
因?yàn)?/span>軸,所以,而直線與圓相切,
根據(jù)對稱性,可取,
則直線的方程為,
即.
由圓與直線相切,得,
所以圓的方程為.
(2)
易知,圓的方程為.
①當(dāng)軸時,,
所以,
此時得直線被圓截得的弦長為.
②當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)直線的方程為,,
首先由,得,
即,
所以(*).
聯(lián)立,消去,得,
將代入(*)式,
得.
由于圓心到直線的距離為,
所以直線被圓截得的弦長為,故當(dāng)時,有最大值為.
綜上,因?yàn)?/span>,所以直線被圓截得的弦長的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計,可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓的半徑為,設(shè),圓錐的側(cè)面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時腰的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過且垂直于軸的焦點(diǎn)弦的弦長為,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,互相垂直,直線過且與橢圓交于點(diǎn),兩點(diǎn),直線過且與橢圓交于,兩點(diǎn).求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知中, ,點(diǎn)平面,點(diǎn)在平面的同側(cè),且在平面上的射影分別為,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若是中點(diǎn),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對祖國的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).
(1)當(dāng)時,求M點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線是,拋物線上任意一點(diǎn)到軸的距離比到準(zhǔn)線的距離少2.
(1)寫出焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程;
(2)已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)(均與不重合),直線分別交于點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓的圓心為,直線過點(diǎn)且與軸不重合, 交圓于兩點(diǎn),過作的平行線交于點(diǎn).
(1)證明為定值,并寫出點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè),過點(diǎn)作直線,交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn) (異于),直線的斜率分別為,證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:過點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點(diǎn).
(1)證明:當(dāng)取得最小值時,橢圓的離心率為.
(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.
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