Question

已知函數(shù)試討論曲線y=f（x）與x軸的公共點的個數(shù)．

Answer 1

解：f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3[ax²-（a+2）x+2]…（1分）
當a=0時，f（x）=-3（x-1）²≤0，f（x）=0有且僅有一解；
當a＜0時，，，
∴
所以，此時f（x）=0有三個不同的實數(shù)解； …（6分）
當a＞0時，
①若，即0＜a＜2時，∴
f（x）=0有且僅有一解；
②若，即a=2時，f'（x）=6（x-1）²≥0函數(shù)為R上增函數(shù)，
f（0）=-3＜0，f（2）=1＞0，f（x）=0有且僅有一解；
③若，即a＞2時，
∴，f（x）=0有且僅有一解； 14分
分析：要討論曲線與橫軸的交點的個數(shù)，即討論使得函數(shù)等于0時，對應的自變量的個數(shù)，對函數(shù)求導，討論a的不同的取值對應的函數(shù)值等于0時的x的值，借助于函數(shù)的極值和單調性來說明．
點評：本題考查函數(shù)與方程之間的關系和利用導數(shù)來研究函數(shù)的極值的問題，本題解題的關鍵是理解題意，本題是一個中檔題目．