Question

已知函數(shù)試討論曲線y=f（x）與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：要討論曲線與橫軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論使得函數(shù)等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量的個(gè)數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論a的不同的取值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值等于0時(shí)的x的值，借助于函數(shù)的極值和單調(diào)性來(lái)說(shuō)明．
解答：解：f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3[ax²-（a+2）x+2]…（1分）
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3（x-1）²≤0，f（x）=0有且僅有一解； 
當(dāng)a＜0時(shí)，，，
∴
所以，此時(shí)f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；                   …（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，
①若，即0＜a＜2時(shí)，∴
f（x）=0有且僅有一解；
②若，即a=2時(shí)，f'（x）=6（x-1）²≥0函數(shù)為R上增函數(shù)，
f（0）=-3＜0，f（2）=1＞0，f（x）=0有且僅有一解；
③若，即a＞2時(shí)，
∴，f（x）=0有且僅有一解； 14分
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系和利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值的問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是理解題意，本題是一個(gè)中檔題目．