已知函數(shù)f(x)=ax3-
32
(a+2)x2+6x-3試討論曲線y=f（x）與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
分析：要討論曲線與橫軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論使得函數(shù)等于0時(shí)，對應(yīng)的自變量的個(gè)數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，討論a的不同的取值對應(yīng)的函數(shù)值等于0時(shí)的x的值，借助于函數(shù)的極值和單調(diào)性來說明．
解答：解：f'（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3[ax2-（a+2）x+2]…（1分）
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3（x-1）2≤0，f（x）=0有且僅有一解； 
當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)=3a(x-
2
a
)(x-1)，
2
a
＜1，
∴f極小=f(
2
a
)=
-3a2+6a-4
a2
＜0，f極大=f(1)=-
a
2
＞0
所以，此時(shí)f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；                   …（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，
①若
2
a
＞1，即0＜a＜2時(shí)，∴f極小=f(
2
a
)＜f極大=f(1)=-
a
2
＜0
f（x）=0有且僅有一解；
②若
2
a
=1，即a=2時(shí)，f'（x）=6（x-1）2≥0函數(shù)為R上增函數(shù)，
f（0）=-3＜0，f（2）=1＞0，f（x）=0有且僅有一解；
③若
2
a
＜1，即a＞2時(shí)，
∴0＞f極大=f(
2
a
)=
-3a2+6a-4
a2
＞f極小=f(1)=-
a
2
，f（x）=0有且僅有一解； 14分
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系和利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的極值的問題，本題解題的關(guān)鍵是理解題意，本題是一個(gè)中檔題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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