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【題目】已知橢圓的離心率為，過橢圓的左、右焦點分別作傾斜角為的直線，且之間的距離為1．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓只有一個公共點，求點到直線的距離之積．

【答案】（1） （2）1

【解析】

（1）由已知求出，即得解；

（2）當直線的斜率不存在時，點到直線的距離之積為1；當直線的斜率存在時，設其方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到，求出，

，即得解.

（1）設，由之間的距離為1，得，所以

由橢圓的離心率為，得，所以，

所以橢圓的標準方程為．

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，點到直線的距離之積為1；

當直線的斜率存在時，設其方程為，

聯(lián)立及，消去得，

因為直線與橢圓只有一個公共點，所以，得

點到直線的距離，

點到直線的距離，

所以，

綜上可得，若直線與橢圓只有一個公共點，則點到直線的距離之積為1．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線l：和橢圓：相交于點，

（1）當直線l過橢圓的左焦點和上頂點時，求直線l的方程

（2）點在上，若，求面積的最大值：

（3）如果原點O到直線l的距離是，證明：為直角三角形.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下表是某原料在市場上從2013年至2019年這7年中每年的平均價格（單位：千元/噸）數據：

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

年份代號

1

2

3

4

5

6

7

平均價格

（單位：千元/噸）

（1）從表中數據可認為和線性相關性較強，求出以為解釋變量為預報變量的線性回歸方程（系數精確到）；

（2）以（1）的結論為依據，預測2032年該原料價格.預估該原料價格在哪一年突破1萬元/噸？

參考數據：，，，

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為， 在軸負半軸上有一點，且

（1）若過三點的圓 恰好與直線相切，求橢圓C的方程；

（2）在（1）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓C交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險：戊，重大疾病保險，各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種參�？蛻暨M行抽樣調查，得出如下的統(tǒng)計圖例，以下四個選項錯誤的是（ ）

A.54周歲以上參保人數最少B.18～29周歲人群參�？傎M用最少

C.丁險種更受參保人青睞D.30周歲以上的人群約占參保人群的80%

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過點的直線交拋物線于，兩點，點在第一象限.

若，，求直線的方程；

若，點為準線上任意一點，求證：直線，，的斜率成等差數列.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若數列滿足，且存在常數，使得對任意的都有，則稱數列為“k控數列”．

（1）若公差為d的等差數列是“2控數列”，求d的取值范圍；

（2）已知公比為的等比數列的前n項和為，數列與都是“k控數列”，求q的取值范圍（用k表示）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設數列的前項和為，且.

（1）求證：數列為等比數列；

（2）設數列的前項和為，求證： 為定值；

（3）判斷數列中是否存在三項成等差數列，并證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】綠水青山就是金山銀山．某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項目．為預估今年7月份游客購買水果的情況，隨機抽樣統(tǒng)計了去年7月份100名游客的購買金額．分組如下：，， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）請用抽樣的數據估計今年7月份游客人均購買水果的金額（同一組中的數據用該組區(qū)間中點作代表）．

（2）若把去年7月份購買水果不低于80元的游客，稱為“水果達人”． 填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為“水果達人”與性別有關系？

水果達人

非水果達人

合計

男

10

女

30

合計

（3）為吸引顧客，商家特推出兩種促銷方案．方案一：每滿80元可立減10元；方案二：金額超過80元可抽獎三次，每次中獎的概率為,且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折．若每斤水果10元，你打算購買12斤水果，請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種優(yōu)惠方案．

附：參考公式和數據：，.臨界值表：

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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