Question

【題目】已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為.直線和兩條漸近線交于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限且,是雙曲線上的任意一點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在點(diǎn)P使得為直角三角形？若存在,求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；

(3)直線與直線分別交于點(diǎn),證明：以為直徑的圓必過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)4個(gè)；(3)證明過程見解析.

【解析】

(1)根據(jù),可知,根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù),求出,這樣可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)分類討論以三點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)能否構(gòu)成直角三角形,最后確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；

(3)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合斜率公式可以求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求出以為直徑的圓,最后根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可以判斷出該圓所過的定點(diǎn).

(1)因?yàn)?/span>,所以,雙曲線的漸近線方程為：,由題意可知：

而,所以,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

(2)因?yàn)橹本�的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：,則有.

當(dāng)時(shí),所以且,解得或此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),所以且,,解得或,此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)是以線段為直徑圓上,圓的方程為：,與雙曲線方程聯(lián)立,無(wú)實(shí)數(shù)解,

綜上所述：點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè)；

(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,即

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,即 , 所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為：

,所以以為直徑的圓的方程為：,即

令或,因此該圓恒過兩點(diǎn).