Question

設T_n為數(shù)列{a_n}的前n項的積，即T_n=a₁•a₂…•a_n．
（1）若T_n=n²，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足T_n=

1

2

（1-a_n）（n∈N^*），證明數(shù)列{

1

Tn

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（3）數(shù)列{a_n}共有100項，且滿足以下條件：
①a₁•a₂…•a₁₀₀=2；
②a₁•a₂…•a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2（1≤k≤99，k∈N^*）．
（Ⅰ）求a₅的值；
（Ⅱ）試問符合條件的數(shù)列共有多少個？為什么？

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用作商法求a_n；
（2）利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{

1

Tn

}為等差數(shù)列，并求得{a_n}的通項公式；
（3）（Ⅰ）由題意聯(lián)立方程組求得T₄，T₅，則a₅=

T5

T4

即得；
     （Ⅱ）由（Ⅰ）可得T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一個實根（△＞0），當數(shù)列前k（2≤k≤98）項確定后，其前k項積T_k確定，由T_k+1可得到兩個a_k+1，即得符合條件的數(shù)列共有2⁹⁹個．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=T₁=1； 當n≥2時，a_n=

Tn

Tn-1

=

n2

(n-1)2

，
∴a_n=

1，n=1 n2 (n-1)2 ，n≥2

                                      …（4分）
（2）當n=1時，a₁=T₁=

1

2

（1-a₁），所以a₁=

1

3

，當n≥2時，2T_n=1-a_n=1-

Tn

Tn-1

，
所以

1

Tn

-

1

Tn-1

=2，數(shù)列{

1

Tn

}為等差數(shù)列             …（8分）

1

Tn

=3+2（n-1）=2n+1，T_n=

1

2n+1

，a_n=1-2T_n=

2n-1

2n+1

 …（10分）
（3）（Ⅰ）由a₁•a₂…•a₁₀₀=2，a₁•a₂…•a₄+a₅•a₆…a₁₀₀=6；可得T₄=3±

7

，
由a₁•a₂…•a₁₀₀=2，a₁•a₂…a₅+a₆•a₇…a₁₀₀=7，可得T₅=

7± 41

2

，
所以a₅=

T5

T4

=

7+ 41

2(3± 7)

或a₅=

7- 41

2(3± 7)

．  …（13分）
（Ⅱ）a₁+a₂…•a₁₀₀=3，所以a₁=1或2
T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一個實根（△＞0），
當數(shù)列前k（2≤k≤98）項確定后，其前k項積T_k確定，由T_k+1可得到兩個a_k+1
所以符合條件的數(shù)列共有2⁹⁹個．…（18分）

點評：本題主要考查作商法求數(shù)列通項公式及利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，考查利用方程組的思想解決問題的能力，綜合性強，屬難題．