Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）對(duì)于任意，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分類討論，詳見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求出可得切線的斜率，從而得到切線方程.

（Ⅱ）求出后就討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（Ⅲ）就、、、 、分類討論后可得的最大值和最小值，從而得到關(guān)于的不等式組，其解即為所求的取值范圍.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>

所以，.

又因?yàn)?/span>，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，

所以.

令，解得或.

若，當(dāng)即或時(shí)，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)即時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

若，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)在上是增函數(shù).

若，當(dāng)即或時(shí)，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)即時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅲ） 由題設(shè)，只要即可.

令，解得或.

當(dāng)時(shí)，隨變化， 變化情況如下表：

		減	極小值	增

由表可知，此時(shí) ，不符合題意.

當(dāng)時(shí)，隨變化， 變化情況如下表：

		增	極大值	減	極小值	增

由表可得，

且，，

因，所以只需，

即 ，解得.

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知在為增函數(shù)，

此時(shí)，符合題意.

當(dāng)時(shí)，

同理只需，即 ，解得.

當(dāng)時(shí)，，，不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.