Question

24、給定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n，同時滿足：
①當i，j∈A_n，i≠j時，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，則有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
則稱映射f：A_n→A_n是一個“優(yōu)映射”．
例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一個“優(yōu)映射”．

表1					表2
	1	2	3			1	2	3	4	5
	2	3	1

已知表2表示的映射f：A₅-A₅是一個“優(yōu)映射”，且方程f（i）=i的解恰有3個，則這樣的“優(yōu)映射”的個數(shù)是

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)優(yōu)映射的定義，可知f（i）=i可以構(gòu)成A₅-A₅是一個“優(yōu)映射”，但是要滿足條件“映射f：A₅-A₅是一個“優(yōu)映射”，且方程f（i）=i的解恰有3個的優(yōu)映射”必須滿足f（1）≠1，即可求得結(jié)果．

解答：解：根據(jù)“優(yōu)映射”的定義：①當i，j∈A_n，i≠j時，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，則有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}，
可知f（i）=i可以構(gòu)成A₅-A₅是一個“優(yōu)映射”，
又∵方程f（i）=i的解恰有3個，
∴f（1）≠1，故滿足條件“映射f：A₅-A₅是一個“優(yōu)映射”，且方程f（i）=i的解恰有3個的優(yōu)映射”的個數(shù)為：C₄³=4，
故答案為：4．

點評：本題考查映射的定義，“優(yōu)映射”的定義，根據(jù)條件“映射f：A₅-A₅是一個“優(yōu)映射”，且方程f（i）=i的解恰有3個的優(yōu)映射”判定f（1）≠1是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．