Question

已知函數(shù)，，圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為，與軸的交點(diǎn)N處的切線為， 并且與平行.

（1）求的值；

（2）已知實(shí)數(shù)t∈R，求的取值范圍及函數(shù)的最小值；

（3）令，給定，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)，存在實(shí)數(shù)滿足：，，并且使得不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）2 （2） （3）

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)題意求出f(x)，g(x-1)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用切線平行，即導(dǎo)函數(shù)在交點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值相等，即可求出f(x)中參數(shù)a的值，進(jìn)而得到f(2).

（2）可以利用求定義域，求導(dǎo)，求單調(diào)性與極值 對(duì)比極值與端點(diǎn)值得到的取值范圍.進(jìn)而直接用u替代中的，把問題轉(zhuǎn)化為求解在區(qū)間上的最小值，即為一個(gè)含參二次函數(shù)的最值.則利用二次函數(shù)的單調(diào)性，即分對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，中，右邊三種情況進(jìn)行討論得到函數(shù)的最小值.

（3）對(duì)F(x)求導(dǎo)求并確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)F(x)的單調(diào)性，有了F(x)的單調(diào)性，則要得到不等式，我們只需要討論m的范圍確定的大小關(guān)系，再根據(jù)單調(diào)性得到的大小關(guān)系，判斷其是否符合不等式，進(jìn)而得到m的取值范圍.

試題解析：

（1） 圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)， 1分

圖象與軸的交點(diǎn)， 2分

由題意可得， 即 ， 3分

∴， 4分

（2）= 5分

令，在 時(shí)，，

∴在單調(diào)遞增， 6分

圖象的對(duì)稱軸，拋物線開口向上

①當(dāng)即時(shí)， 7分

②當(dāng)即時(shí)， 8分

③當(dāng)即時(shí)，

9分

,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增

∴時(shí)， 10分

①當(dāng)時(shí)，有，

，

得，同理，　

∴ 由的單調(diào)性知 、

從而有，符合題設(shè). 11分

②當(dāng)時(shí)，，

，

由的單調(diào)性知 ，

∴，與題設(shè)不符 12分

③當(dāng)時(shí)，同理可得，

得，與題設(shè)不符. 13分

∴綜合①、②、③得 14分

考點(diǎn)：二次函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 最值