【題目】設(shè)P1 , P2 , …Pn為平面α內(nèi)的n個(gè)點(diǎn),在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中,若點(diǎn)P到點(diǎn)P1 , P2 , …Pn的距離之和最小,則稱點(diǎn)P為P1 , P2 , …Pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”,例如,線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A,B的中位點(diǎn),現(xiàn)有下列命題:
①若三個(gè)點(diǎn)A、B、C共線,C在線段AB上,則C是A,B,C的中位點(diǎn);
②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn);
③若四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D共線,則它們的中位點(diǎn)存在且唯一;
④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn).
其中的真命題是(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

【答案】①④
【解析】解:①若三個(gè)點(diǎn)A、B、C共線,若C在線段AB上,則線段AB上任一點(diǎn)都為“中位點(diǎn)”,C也不例外,則C是A,B,C的中位點(diǎn),①正確;
②舉一個(gè)反例,如邊長(zhǎng)為3,4,5的直角三角形ABC,此直角三角形的斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為5+2.5=7.5,而直角頂點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為7,所以直角三角形斜邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn),故②錯(cuò)誤;
③若四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D共線,則它們的中位點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個(gè)點(diǎn),故它們的中位點(diǎn)存在但不唯一,故③錯(cuò)誤;
④如圖,在梯形ABCD中,對(duì)角線的交點(diǎn)O,P是任意一點(diǎn),則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD,所以梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn),故④正確.
所以答案是:①④.

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用,掌握兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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給出下列四個(gè)函數(shù)中①fx; fx fx;④fx,

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給出下列四個(gè)結(jié)論:

f(0)=0;fx)為偶函數(shù);

fx)為R上減函數(shù);fx)為R上增函數(shù).

其中正確的結(jié)論是( 。

A. B. C. D.

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(1)求的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓、兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,求證:為定值.

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(參考數(shù)據(jù):

A. 12 B. 24 C. 48 D. 96

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