設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)于任意的x∈R,有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f()=.問(wèn):是否存在正數(shù)k,使(1+均成立,若存在,求出k的最大值并證明,否則說(shuō)明理由.

解:令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0),

∵-1<0, ∴f(-1)>1, ∴f(0)=1,

∵f(0)=f(x)f(-x)  ∴f(x)>0  

設(shè)x1<x2  ∵x1-x2<0 ∴f(x1-x2)>1  

∴f(x1)=f(x1-x2)f(x2)  

∴f(x1)>f(x2)

∴f(x)是R上的減函數(shù).

,

又∵a1=f(0)=1.  

∴{an}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公差為d=2.∴an=2n-1.

∴存在正數(shù)k,使成立.

設(shè)

∴F(n)單調(diào)遞增. ∴F(1)為F(n)的最小值.

由F(n)≥k恒成立. ∴k≤

∴k的最大值為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

奇函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x-x2,設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]的值域?yàn)?span id="vbrdwem" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[
1
b
,
1
a
],則b的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y)成立.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=f(0),且 f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)

(Ⅰ) 求f(0)的值;
(Ⅱ) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ) 是否存在正數(shù)k,使(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
對(duì)一切n∈N*均成立,若存在,求出k的最大值,并證明,否則說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(附加題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y).
(1)求f(0),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
( 2 )數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*
A.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
B.令bn=(
1
2
)an,Sn=b1+b2+b3+…bnTn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
,試比較Sn
2
3
Tn的大小,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•營(yíng)口二模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1,且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有 f(x+y)=f(x)•f(y)成立,
(1)求f(0)的值,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=f(0),f(an+1)=
1
f(-2-an)
,(n∈N+)
,求{an}的通項(xiàng)公式;
(3)如果f(1)=
1
2
,bn=lgf(an),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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