Question

（2013•營(yíng)口二模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有 f（x+y）=f（x）•f（y）成立，
（1）求f（0）的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a1=f(0)，f(an+1)=

1

f(-2-an)

，(n∈N+)，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）如果f(1)=

1

2

，b_n=lgf（a_n），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）采用賦值法：令x=-1、y=0代入，并結(jié)合f（-1）＞1化簡(jiǎn)得f（0）=1．再取y=-x，代入題中等式化簡(jiǎn)得到當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

f(-x)

∈(0，1)，從而得到當(dāng)x∈R時(shí)，總有f（x）＞0成立．最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證出當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），可得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（2）因?yàn)?span id="sq954ce" class="MathJye">f(an+1)=

1

f(-2-an)

，結(jié)合函數(shù)對(duì)應(yīng)法則化簡(jiǎn)，得到f（a_n+1）=f（a_n+2），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得a_n的表達(dá)式；
（3）根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，結(jié)合f(1)=

1

2

證出數(shù)列{f（n）}構(gòu)成以公比q=

1

2

的等比數(shù)列，可得f(n)=(

1

2

)n，進(jìn)而得到f（a_n）=(

1

2

)2n-1，由此算出數(shù)列{b_n}是以lg(

1

2

)為首項(xiàng)，以2lg(

1

2

)為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可算出{b_n}的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式．

解答：解：由x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），x＜0時(shí)，f（x）＞1可得：
（1）令x=-1，y=0，得f（-1+0）=f（-1）•f（0），即f（-1）=f（-1）•f（0），
∵-1＜0，得f（-1）＞1，∴兩邊約去f（-1），可得f（0）=1；      …（2分）
若x＞0，則-x＜0，可得f（-x）＞1，則1=f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

1

f(-x)

∈(0，1)，
結(jié)合f（0）=1得當(dāng)x∈R時(shí)，總有f（x）＞0成立；…（4分）
對(duì)任意的x₁、x₂，且x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）∈（0，1），
從而f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₁+（x₂-x₁））-f（x₁）
=f（x₁）•f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0；
即當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂）成立，當(dāng)由此可得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．…（6分）
（2）a1=f(0)=1，f(an+1)=

1

f(-2-an)

=

1

f[-(an+2)]

=f(an+2)
∵函數(shù)f（x）是R上單調(diào)函數(shù)，
∴a_n+1=a_n+2，…（8分）
由此可得：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列，
即通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．…（10分）
（3）當(dāng)f(1)=

1

2

時(shí)，可得f(2)=f(1+1)=f(1)•f(1)=(

1

2

)2，…，f（n+1）=f（n）•f（1）=

1

2

f（n），（n∈N^*）
∴數(shù)列{f（n）}構(gòu)成以f(1)=

1

2

為首項(xiàng)，公比q=

1

2

的等比數(shù)列，可得f(n)=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
∵a_n=2n-1，∴f（a_n）=(

1

2

)2n-1
因此，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=lg(

1

2

)2n-1=(2n-1)lg(

1

2

)，…（12分）
可得數(shù)列{b_n}是以lg(

1

2

)為首項(xiàng)，以2lg(

1

2

)為公差的等差數(shù)列，
因此，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為：Sn=

n[lg( 1 2 )+(2n-1)lg( 1 2 )]

2

=n2lg(

1

2

)=-n2lg2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，求f（0）的值、研究了函數(shù)的單調(diào)性，并依此探討數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．著重考查了運(yùn)用賦值法研究抽象函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的定義和等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式等知識(shí)，屬于中檔題．