Question

已知橢圓C過點(diǎn)P（1，

3

2

），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，將P的坐標(biāo)代入橢圓的方程得到關(guān)于a，b的等式，再根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于a，b，c的另一個(gè)等式，解方程組求出a，b的值即得到橢圓的方程．
（2）設(shè)出直線AB的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達(dá)定理表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)m得到中點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：（1）由題意可知，c=1，a²=b²+1
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…即

x2

1+b2

+

y2

b2

=1
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以

1

1+b2

+

9

4b2

=1，解得b²=3，
所以橢圓方程為  

x2

4

+

y2

3

=1
（2）解：設(shè)過點(diǎn)F₁的直線方程為：x=my-1
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：

(my-1)2

4

+

y2

3

=1
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0y1+y2=

6m

3m2+4

同理可得：x1+x2=

-8

3m2+4

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x，y），則

x= x1+x2 2 = -4 3m2+4 y= y1+y2 2 = 3m 3m2+4

整理得：3x²+4y²+3x=0
當(dāng)y=0時(shí)，易知線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，滿足上述方程．
綜上所述，所求的方程為：3x²+4y²+3x=0

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程問題，一般利用待定系數(shù)法，注意橢圓中的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系與雙曲線中的三個(gè)參數(shù)關(guān)系的區(qū)別；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找突破口．