已知橢圓C過點M(1,
32
),兩個焦點為A(-1,0),B(1,0),O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l過點A(-1,0),且與橢圓C交于P,Q兩點,求△BPQ的內(nèi)切圓面積的最大值.
分析:(1)由已知中焦點坐標,可得c值,進而根據(jù)橢圓過M點,代入求出a,b可得橢圓的標準方程;
(2)由于△BPQ為橢圓的焦點三角形,可得其周長為4a,根據(jù)三角形面積公式,可得△BPQ的面積S=4r,聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達定理及基本不等式,求出三角形面積的最大值,可求出內(nèi)切圓半徑,進而得到內(nèi)切圓的面積.
解答:解:(1)∵橢圓C的兩個焦點為A(-1,0),B(1,0),
故c=1,且橢圓的坐標在x軸上
設(shè)橢圓C的方程為:
x2
1+b2
+
y2
b2
=1

∵橢圓C過點M(1,
3
2
),
1
1+b2
+
9
4b2
=1

解得b2=3,或b2=-
3
4

∴橢圓C的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1

(II)由(I)知△BPQ為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的焦點三角形,周長為4a=8
則△BPQ的面積S=
1
2
•4a•r=4r(r為△BPQ的內(nèi)切圓半徑)
故當△BPQ的面積最大進,其內(nèi)切圓面積最大;
設(shè)直線l的方程為:x=ky-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),則
x=ky-1
x2
4
+
y2
3
=1
得:(4+3k2)y2-6ky-9=0
則y1+y2=
6k
3k2+4
,y1+y2=
-9
3k2+4

∴S=
1
2
•2c•|y1-y2|=
12
k2+1
3k2+4

令t=
k2+1
,(t≥1)
則S=
12
3t+
1
t
,
∵y=3t+
1
t
在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故當t=1時,y取最小值,此時S取最大值3
此時r=
3
4

即△BPQ的內(nèi)切圓面積的最大值為
16
點評:本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,橢圓的標準方程,其中解答(2)時的三駕馬車“聯(lián)立方程,設(shè)而不求,韋達定理”是解答的關(guān)鍵.
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已知橢圓C過點M(1,
6
2
),F(xiàn)(-
2
,0)
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(1)求橢圓C的標準方程;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C過點M(2,1),兩個焦點分別為(-
6
,0)、(
6
,0)
,O為坐標原點,平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B,
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)試問直線MA、MB的斜率之和是否為定值,若為定值,求出以線段AB為直徑且過點M的圓的方程;若不存在,說明理由.

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已知橢圓C過點M(1,),兩個焦點為A(-1,0),B(1,0),O為坐標原點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線L過點A(-1,0),且與橢圓C相交于P、Q兩點,求三角形BPQ面積的最大值.

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如圖,已知橢圓C過點M(2,1),兩個焦點分別為,O為坐標原點,平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B,
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)試問直線MA、MB的斜率之和是否為定值,若為定值,求出以線段AB為直徑且過點M的圓的方程;若不存在,說明理由.

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