已知橢圓,過點P(1,1)作直線l與橢圓交于M、N兩點.
(1)若點P平分線段MN,試求直線l的方程;
(5)設與滿足(1)中條件的直線l平行的直線與橢圓交于A、B兩點,AP與橢圓交于點C,BP與橢圓交于點D,求證:CD∥AB.
【答案】分析:(1)設M(xM,yM),N(xN,yN),則有xM+xN=2,yM+yN=2,利用點差法,可得,從而可求直線l的方程;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),且,可得,將點A、C的坐標分別代入橢圓方程,化簡可得,同理有,由此可得λ12,故可證得結論.
解答:(1)解:設M(xM,yM),N(xN,yN),則有xM+xN=2,yM+yN=2.
①-②化簡可得+=0

故直線l的方程為,即x+2y-3=0.(5分)
(2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),且,
∴1-x11(x3-1),1-y11(y3-1)
,
將點A、C的坐標分別代入橢圓方程:①,
②×-①,并約去1+λ1
同理有
④-③可得+21
,∴+=0

,即λ12,
所以CD∥AB.(12分)
點評:本題考查直線與橢圓的位置關系,考查點差法的運用,解題的關鍵是設點,利用點差法解題.
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