已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4(),是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng)a=2時(shí),對(duì)任意的求的最小值;
(2)若存在使f(x0)>0,求a的取值范圍.
(1)-11(2)
解析試題分析:
(1)把a(bǔ)=2帶入f(x),對(duì)f(x)求導(dǎo)得單調(diào)性,得極值與[-1,1]區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較得到最小值,對(duì)f(x)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)可以對(duì)稱軸圖像得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最小值,函數(shù)f(x)與f(x)的導(dǎo)函數(shù)最小值之和即為的最小值.
(2)該問(wèn)題為固定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題,只需要函數(shù)f(x)在區(qū)間最小值大于0.關(guān)于函數(shù)f(x)的最值可以通過(guò)求導(dǎo)求單調(diào)性來(lái)得到在該區(qū)間上的最值,由于導(dǎo)函數(shù)是含參數(shù)的二次函數(shù),故討論需遵循開(kāi)口,有無(wú)根,根的大小等步驟進(jìn)行分類(lèi)討論確定原函數(shù)的單調(diào)性,得到最小值,進(jìn)而得到a的取值范圍.
試題解析:
(1)由題意知
令 2分
當(dāng)在[-1,1]上變化時(shí),隨的變化情況如下表:
的最小值為 4分x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 -7 - 0 + 1 -1 ↓ -4 ↑ -3
的對(duì)稱軸為,且拋物線開(kāi)口向下,
的最小值為 5分
的最小值為-11. 6分
(2).
①若,上單調(diào)遞減,
又
9分
②若當(dāng)
從而上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
. 12分
根據(jù)題意,
綜上,的取值范圍是 14分
(或由,用兩種方法可解)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè),.
(1)令,討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值;
(2)求證:當(dāng)時(shí),恒有.
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已知()
(1)若方程有3個(gè)不同的根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn),且滿足,若存在,求實(shí)數(shù)的值,若不存在,說(shuō)明理由.
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已知曲線.
(1)若曲線C在點(diǎn)處的切線為,求實(shí)數(shù)和的值;
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù),曲線總在直線:的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù),且是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
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已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)當(dāng)的值時(shí),若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn),求的最大值.
(注:可能會(huì)用到的導(dǎo)數(shù)公式:;)
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