已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè)為正實(shí)數(shù),且,求證:.
(1);(2);(3)詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:(1)根據(jù)題意,可得,又由為極值點(diǎn),故,代
入并檢驗(yàn)即可得到,從而切線斜率,切點(diǎn)為,因此切線方程為;
由(1),故在上為單調(diào)增函數(shù)等價(jià)于
在上恒成立,將不等式變形為,從而問(wèn)題等價(jià)于求使在上恒成立的的取值范圍,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“”成立,即,因此只
需,∴,即的取值范圍是;
(3)要證,只需證,
即證只需證,由(2)中所得,令,則,
由(2)知在上是單調(diào)增函數(shù),又,因此,即成立,即有.
試題解析:(1)∵,∴
又∵是函數(shù)的極值點(diǎn),∴,代入得,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,
從而切線斜率,切點(diǎn)為,∴切線方程為;
(2)由(1),
∵上為單調(diào)增函數(shù),∴上恒成立,
即在上恒成立,將不等式變形為,即需使在
上恒成立,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“”成立,因此只需,∴,
∴的取值范圍是;
由(2),令,則,由(2)知在
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)。
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間、最大值;
(2)設(shè)函數(shù),若存在實(shí)數(shù)使得,求m的取值范圍。
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已知函數(shù)().
(1)當(dāng)時(shí),求的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且,求證:(其中是的導(dǎo)函數(shù)).
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已知函數(shù)f(x)=ex,a,bR,且a>0.
⑴若a=2,b=1,求函數(shù)f(x)的極值;
⑵設(shè)g(x)=a(x-1)ex-f(x).
①當(dāng)a=1時(shí),對(duì)任意x (0,+∞),都有g(shù)(x)≥1成立,求b的最大值;
②設(shè)g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,求的取值范圍.
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已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的極值;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(3)設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)、(),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并證明.
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已知函數(shù):f(x)=x3+ax2+bx+c,過(guò)曲線y=f(x)上的點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為y=3x+1
(1)y=f(x)在x=-2時(shí)有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
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已知在與處都取得極值.
(1)求,的值;
(2)設(shè)函數(shù),若對(duì)任意的,總存在,使得、,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)滿足.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間(-3,3)上的單調(diào)性.
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