已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,求;
(3)設(shè),證明:.
(1) (2) (3)見解析
解析試題分析:
(1)當(dāng)帶入式子結(jié)合即可得到的值,當(dāng)時(shí),利用與的關(guān)系()即可得到是一個(gè)常數(shù),即可得到數(shù)列為等差數(shù)列,但是需要驗(yàn)證是否符合,進(jìn)而證明為等差數(shù)列,即可求的通項(xiàng)公式.
(2)把(1)中得到的的通項(xiàng)公式帶入可得,即為等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,故需要利用錯(cuò)位相減法來求的前n項(xiàng)和.
(3)把(1)得到的帶入,觀察的通項(xiàng)公式為分式,為求其前n項(xiàng)和可以考慮利用裂項(xiàng)求和法.進(jìn)行裂項(xiàng),在進(jìn)行求和就可以得到的前n項(xiàng)和為,利用非負(fù)即可證明原不等式.
試題解析:
(1)由題意,當(dāng)時(shí),有, (1分)
兩式相減得 即. (2分)
由,得.
所以對(duì)一切正整數(shù)n,有, (3分)
故,即. (4分)
(2)由(1),得,
所以 ① (5分)
①兩邊同乘以,得 ② (6分)
①-②,得, (7分)
所以, (8分)
故. (9分)
(3)由(1),得 (12分)
(13分)
. (14分)
考點(diǎn):裂項(xiàng)求和 錯(cuò)位相減 不等式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個(gè)面包分給五人,使每人成等差數(shù)列,且使最大的三份之和的是較小的兩份之和,則最小1份的大小是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在數(shù)列中,,.
(1)設(shè).證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
等比數(shù)列中,已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.
(2)記,求的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知an+1=2Sn+2()
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列,
①在數(shù)列{dn}中是否存在三項(xiàng)dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項(xiàng),若不存在,說明理由;
②求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知n∈N*,數(shù)列{dn}滿足dn=,數(shù)列{an}滿足an=d1+d2+d3+…+d2n.又知數(shù)列{bn}中,b1=2,且對(duì)任意正整數(shù)m,n,.
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列{bn}中的第a1項(xiàng),第a2項(xiàng),第a3項(xiàng),…,第an項(xiàng)刪去后,剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}的前2013項(xiàng)和T2013.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列具有性質(zhì):①為整數(shù);②對(duì)于任意的正整數(shù),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.
(1)若為偶數(shù),且成等差數(shù)列,求的值;
(2)設(shè)(且N),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:;
(3)若為正整數(shù),求證:當(dāng)(N)時(shí),都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和,已知,2,N
(Ⅰ)求,,并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{}的前項(xiàng)和。
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