Question

【題目】我們知道一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的曲線，事實上，多項式函數(shù)的圖像都是如此.

（1）設(shè)，且，若還有，求證：；

（2）設(shè)一個多項式函數(shù)有奇次項（），求證：總能通過只調(diào)整的系數(shù)，使得調(diào)整后的多項式一定有零點；

（3）現(xiàn)有未知數(shù)為的多項式方程（其中實數(shù)待定），甲、乙兩人進行一個游戲：由甲開始交替確定中的一個數(shù)（每次只能去確定剩余還未定的數(shù)），當(dāng)甲確定最后一個數(shù)后，若方程由實數(shù)解，則乙勝，反之甲勝，問：乙有必勝的策略嗎？若有，請給出策略并證明，若無，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）乙有必勝的策略，證明見解析

【解析】

（1）對分兩種情況和討論證明；（2）記此多項式函數(shù)為,,為項系數(shù)，分析得到，再利用零點存在性定理證明可得；（3）乙有必勝的策略. 乙前4次盡量去定偶次項系數(shù)，就能保證甲第5次只能去定一個奇數(shù)項的系數(shù).再證明得解.

（1）若，則；

若，則.

綜合得得證.

(2)記此多項式函數(shù)為,,為項系數(shù)，時，

，

同理：，

故由零點存在定理可知調(diào)整后的多項式函數(shù)一定在(-1,1)上存在零點.

（3）乙有必勝的策略.

因待定系數(shù)的項共有5個奇數(shù)項，而在乙最后一次定數(shù)前，甲只定了4個系數(shù)，故乙前4次盡量去定偶次項系數(shù)，就能保證甲第5次只能去定一個奇數(shù)項的系數(shù).

設(shè)甲第5次確定了奇數(shù)項為的系數(shù)為設(shè)乙第4次確定項的系數(shù)為，并設(shè)此時多項式函數(shù)為，則有

由（1）式乘再加（2）式可得，

故當(dāng)乙在第四輪確定的系數(shù)時，有，結(jié)合第（1）小題結(jié)論即知，故由零點存在性定理即得乙的上述策略是必勝的.