已知正數(shù)數(shù)列{a
n}的前n項和為Sn,滿足S
n2=a
13+a
23+…+a
n3.
(I)求證:數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列,并求出通項公式;
(II)設(shè)b
n=(1-
)
2-a(1-
),若b
n+1>b
n對任意n∈N
*恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
法一:
(Ⅰ)∵S
n2=a
13+a
23+…+a
n3,
∴S
n-12=a
13+a
23+…+a
n-13,
兩式相減,得
an3=Sn2-Sn-12=(S
n-S
n-1)(S
n+S
n-1)=a
n(S
n+S
n-1),
∵a
n>0,∴
an2=Sn+Sn-1(n≥2),
∴
an-1 2=Sn-1+Sn-2(n≥2),
兩式相減,得
an2-an-12 =Sn-Sn-2=a
n+a
n-1,
∴a
n-a
n-1=1(n>3),
∵
S12=a12=a13,且a
1>0,∴a
1=1,
S22=(a1+a2)2=a13+a23,
∴(1+a
2)
2=1+
a23,∴
a23-a22-2a2=0,
由a
2>0,得a
2=2,
∴a
n-a
n-1=1,n≥2,
故數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列,通項公式為a
n=n.
(Ⅱ)
bn=(1-)2-a(1-)=
++1-a,
令
t=,則
bn=t2+(a-2)t+1-a,
設(shè)g(t)=t
2+(a-2)t+1-a,
當(dāng)
>時,即a<
時,g(t)在(0,
]上為減函數(shù),
且
g() >g(1),∴b
1<b
2<b
3<…
當(dāng)
≤時,即
a≥時,
g() ≤g(1),從而b
2≤b
1不合題意,
∴實數(shù)a的取值范圍
a<.
法二:
(Ⅰ)同法一.
(Ⅱ)
bn+1-bn=(-)(++a-2)>0,
∴
++a-2<0,
即
a<2--對任意n∈N
*成立,
∴實數(shù)a的取值范圍
a<.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知正數(shù)數(shù)列{a
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1=2.若關(guān)于x的方程x
2-(
)x+
=0(n∈N
×))對任意自然數(shù)n都有相等的實根.
(1)求a
2,a
3的值;
(2)求證
+++…+<(n∈N
×).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
10、已知正數(shù)數(shù)列{a
n}對任意p,q∈N*,都有a
p+q=a
p•a
q,若a
2=4,則a
9=
512
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知正數(shù)數(shù)列{a
n}的前n項和S
n與通項a
n滿足
2=an+1,求a
n.
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來源:
題型:
已知正數(shù)數(shù)列{a
n}的前n項和為Sn,滿足S
n2=a
13+a
23+…+a
n3.
(Ⅰ)求證:數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列,并求出通項公式;
(Ⅱ)設(shè)b
n=(1-
)
2-a(1-
),若b
n+1>b
n對任意n∈N
*恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知正數(shù)數(shù)列
{an}的前n項和Sn,且對任意的正整數(shù)n滿足2=an+1(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式
(2)設(shè)
bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Bn,求Bn范圍.
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