已知正數(shù)數(shù)列{an}中,a1=2.若關(guān)于x的方程x2-(
an+1
)x+
2an+1
4
=0(n∈N×))對任意自然數(shù)n都有相等的實(shí)根.
(1)求a2,a3的值;
(2)求證
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
2
3
(n∈N×).
分析:(1)由題意得△=an+1-2n-1=0,可得a2=5,a3=11.
(2)由于an+1=2an+1,所以數(shù)列an+1是以a1+1=3為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,知數(shù)列{
1
an+1
}
是以
1
3
為首項(xiàng),公比為
1
2
的等比數(shù)列,于是可以證明
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
2
3
解答:解:(1)由題意得△=an+1-2n-1=0,即an+1=2an+1,進(jìn)而可得a2=5,a3=11.
(2)由于an+1=2an+1,所以an+1=2(an+1),因?yàn)閍1+1=3≠0,所以數(shù)列an+1是以a1+1=3為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,知數(shù)列{
1
an+1
}
是以
1
3
為首項(xiàng),公比為
1
2
的等比數(shù)列,于是
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
=
1
3
(1+
1
2
+…+
1
2n-1
) = 
2
3
[1-(
1
2
)
n
] <
2
3
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
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=an+1
,求an

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1
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2-a(1-
1
an
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已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且對任意的正整數(shù)n滿足2
Sn
=an+1

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)bn=
1
anan+1
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Bn,求Bn范圍

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