Question

如圖，有一邊長為2米的正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以直線為對稱軸，以線段的中點為頂點的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形．

（Ⅰ）請建立適當的直角坐標系，求陰影部分的邊緣線的方程;
（Ⅱ）如何畫出切割路徑，使得剩余部分即直角梯形的面積最大？
并求其最大值．

Answer 1

(I) .(Ⅱ)當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

試題分析：(I)以為原點，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，

依題意
可設拋物線弧的方程為
∵點的坐標為， ∴，
故邊緣線的方程為.
(Ⅱ)要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設切點坐標為，   ∵，
∴直線的的方程可表示為，即 ， 由此可求得，.
，   ，
設梯形的面積為，則
. ∴當時，
故的最大值為. 此時.
答：當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  
點評：解應用題常用的方法是依據題意建立等量關系，構造數學模型利用函數的性質進行求解，而有些應用題有明顯的幾何意義，可以考慮利用解析法根據題意建立適當的坐標系，構造曲線方程，利用曲線的性質進行求解．