【題目】如圖，已知拋物線，為的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，且與軸的交點(diǎn)為.過點(diǎn)任意作一條直線交拋物線于兩點(diǎn).

（1）若 ,求證：;

（2）設(shè)為線段的中點(diǎn)，為奇質(zhì)數(shù)，且點(diǎn)到軸的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為非零整數(shù).求證：點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不可能是整數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為.代入，得 ①

設(shè)，則、是方程①的兩個(gè)根，有，.

由，得.

因?yàn)?/span>

又 ，，，所以

.

故.

（2）設(shè).依題意均為非零整數(shù).

由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則. ②

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以

. ③

由式②、③消去，得

④

假設(shè)為正整數(shù)，則

⑤

因?yàn)?/span>為奇質(zhì)數(shù)，由式④知，，從而.

于是，由式⑤知.

令，， ，則

.

消去，得，即

.

又與有相同的奇偶性，且，所以，

解得，.

從而，.于是，，這與為正整數(shù)矛盾.

故點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不可能是整數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，

（1）若A只有一個(gè)元素，試求a的值，并求出這個(gè)元素；

（2）若A是空集，求a的取值范圍；

（3）若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),某5家鮮花店今年4月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表：

鮮花店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x（千元）

3

5

6

7

9

利潤(rùn)額y（千元）

2

3

3

4

5

（1）用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y關(guān)于銷售額x的回歸直線方程=x+；

（2）如果某家鮮花店的銷售額為8千元時(shí),利用(1)的結(jié)論估計(jì)這家鮮花店的利潤(rùn)額是多少.

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值公式分別為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為，橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)（0，1），且=，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直線不與坐標(biāo)軸垂直，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程；

（2）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線交拋物線于，兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地環(huán)保部門跟蹤調(diào)查一種有害昆蟲的數(shù)量．根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，該昆蟲的數(shù)量（萬只）與時(shí)間（年）（其中）的關(guān)系為．為有效控制有害昆蟲數(shù)量、保護(hù)生態(tài)環(huán)境，環(huán)保部門通過實(shí)時(shí)監(jiān)控比值（其中為常數(shù)，且）來進(jìn)行生態(tài)環(huán)境分析．

（1）當(dāng)時(shí)，求比值取最小值時(shí)的值；

（2）經(jīng)過調(diào)查，環(huán)保部門發(fā)現(xiàn)：當(dāng)比值不超過時(shí)不需要進(jìn)行環(huán)境防護(hù)．為確保恰好3年不需要進(jìn)行保護(hù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（為自然對(duì)數(shù)的底， ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在整數(shù)使得關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解？若存在，求出整數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考數(shù)據(jù)：，，，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．

（1）求圓的方程；

（2）若圓與直線交于，兩點(diǎn)，且，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一汽車廠生產(chǎn)，，三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛．

轎車

轎車

轎車

舒適型

100

150

標(biāo)準(zhǔn)型

300

450

600

（1）求的值；

（2）用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；

（3）用隨機(jī)抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)得分?jǐn)?shù)，記這8輛轎車的得分的平均數(shù)為，定義事件，且函數(shù)沒有零點(diǎn)，求事件發(fā)生的概率．

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