【題目】已知函數(shù) （其中a為非零實(shí)數(shù)），且方程 有且僅有一個實(shí)數(shù)根． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，

又a≠0，即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且僅有一個實(shí)數(shù)根（且該實(shí)數(shù)根非零），

所以△=（﹣4）2﹣4a（4﹣a）=0，

解得a=2（此時實(shí)數(shù)根非零）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函數(shù)解析式 ，

任取0＜x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）

=

= ，

∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，2+x1x2＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．


【解析】（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到△=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題類A）以橢圓 +y2=1（a＞1）短軸端點(diǎn)A（0，1）為直角頂點(diǎn)，作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，試判斷并推證能作出多少個符合條件的三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）均在拋物線上．

（1）求該拋物線方程；
（2）若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），求直線AB方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：當(dāng)a＞ln2﹣1且x＞0時，ex＞2x﹣2a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點(diǎn)P（m，n）的直線l與直線l0：x+2y+4=0垂直． （Ⅰ） 若 ，且點(diǎn)P在函數(shù) 的圖象上，求直線l的一般式方程；
（Ⅱ） 若點(diǎn)P（m，n）在直線l0上，判斷直線mx+（n﹣1）y+n+5=0是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ +x（a＞0）．若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x﹣2y=0垂直， （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的S=（ ）
A.14
B.30
C.20
D.55

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（1， ），且離心率等于 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（2，0）作直線PA，PB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，試判斷直線AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的三個頂點(diǎn)是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．
（1）求過點(diǎn)A與BC平行的直線方程．
（2）求過點(diǎn)B，并且在兩個坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．

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