Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2ex﹣1+ax3+bx2 ， 已知x=﹣2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）設(shè)g（x）= x3﹣x2 ， 試比較f（x）與g（x）的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒'（x）=ex﹣1（2x+x2）+3ax2+2bx=xex﹣1（x+2）+x（3ax+2b），

又x=﹣2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，所以f'（﹣2）=f'（1）=0，

因此 解方程組得 ，b=﹣1

（2）解：因?yàn)? ，b=﹣1，所以f'（x）=x（x+2）（ex﹣1﹣1），

令f'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=0，x3=1．

因?yàn)楫?dāng)x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，1）時(shí)，f'（x）＜0；

當(dāng)x∈（﹣2，0）∪（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．

所以f（x）在（﹣2，0）和（1，+∞）上是單調(diào)遞增的；在（﹣∞，﹣2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的

（3）解：由（Ⅰ）可知 ，

故f（x）﹣g（x）=x2ex﹣1﹣x3=x2（ex﹣1﹣x），令h（x）=ex﹣1﹣x，則h'（x）=ex﹣1﹣1．

令h'（x）=0，得x=1，因?yàn)閤∈（﹣∞，1]時(shí)，h'（x）≤0，

所以h（x）在x∈（﹣∞，1]上單調(diào)遞減．故x∈（﹣∞，1]時(shí)，h（x）≥h（1）=0；

因?yàn)閤∈[1，+∞）時(shí)，h'（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增．

故x∈[1，+∞）時(shí)，h（x）≥h（1）=0．

所以對(duì)任意x∈（﹣∞，+∞），恒有h（x）≥0，又x2≥0，因此f（x）﹣g（x）≥0，

故對(duì)任意x∈（﹣∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）

【解析】（Ⅰ）根據(jù)已知x=﹣2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，易得f'（﹣2）=f'（1）=0，從而解出a，b的值．（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)的方法步驟，進(jìn)行求解．（Ⅲ）比較大小，做差f（x）﹣g（x）=x2（ex﹣1﹣x），構(gòu)造新函數(shù)h（x）=ex﹣1﹣x，在定義域內(nèi)，求解h（x）與0的關(guān)系．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．