Question

若對(duì)滿足條件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）²-a（x+y）-30≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是

1

．

Answer 1

分析：利用基本不等式可得x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，化為（x+y）²-4（x+y）-12≥0，解得x+y≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取等號(hào)．令x+y=t≥6，則（x+y）²-a（x+y）-30≥0恒成立，（x＞0，y＞0）?t²-at-30≥0恒成立，t≥6?a≤(t-

30

t

)min，t≥6．令g（t）=t-

30

t

(t≥30)，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答：解：∵x＞0，y＞0，∴x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，化為（x+y）²-4（x+y）-12≥0，解得x+y≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取等號(hào)．
令x+y=t≥6，則（x+y）²-a（x+y）-30≥0恒成立，（x＞0，y＞0）?t²-at-30≥0恒成立，t≥6?a≤(t-

30

t

)min，t≥6．
令g（t）=t-

30

t

(t≥6)，則g′(t)=1+

30

t2

＞0在t≥6上恒成立，
∴g（t）在t∈[6，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g(t)min=g(6)=6-

30

5

=1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了基本不等式、一元二次不等式的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題通過(guò)分離參數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．