如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),△ABF2的周長為8,且△AF1F2面積最大時,△AF1F2為正三角形.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系?
②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)利用橢圓的定義、等邊三角形的性質(zhì)即可得出;
(2)①判斷圓心到x軸的距離與半徑的大小關(guān)系即可得出;
②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件,則由對稱性知點(diǎn)M在x軸上,再利用直徑所對的圓周角是直角即可求出.
解答:解:(1)∵△ABF2的周長為8,∴4a=8,∴a=2.
又當(dāng)△AF1F2面積最大時為正三角形,∴A(0,b),a=2c,∴c=1,b2=3,
∴橢圓E的方程為
(2)①由,得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0
由直線與橢圓相切得m≠0,△=0,⇒4k2-m2+3=0.
求得,Q(4,4k+m),PQ中點(diǎn)到x軸距離 
所以圓與x軸相交.
②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件,由對稱性知點(diǎn)M在x軸上,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M(x1,0),
,得
,即x1=1.
所以定點(diǎn)為M(1,0).
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓的定義、等邊三角形的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系的判斷、圓的對稱性、直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線的垂線分別交橢圓、軸于兩點(diǎn).⑴若,求實(shí)數(shù)的值;

⑵設(shè)點(diǎn)的外接圓上的任意一點(diǎn),

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如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過的直線交橢圓于兩點(diǎn), 的周長為8,且面積最大時,為正三角形

1)求橢圓的方程

2)設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn),且與直線于點(diǎn),證明:點(diǎn)在以為直徑的圓上.

 

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(Ⅰ)求該橢圓的離心率;

(Ⅱ)設(shè)線段的中點(diǎn)為,的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn),

記△的面積為,△為原點(diǎn))的面積為,求的取值范圍.

 

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如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作直線AF的垂線分別交橢圓、x軸于B,C兩點(diǎn).
(1)若,求實(shí)數(shù)λ的值;
(2)設(shè)點(diǎn)P為△ACF的外接圓上的任意一點(diǎn),當(dāng)△PAB的面積最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,過F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),△ABF2的周長為8,且△AF1F2面積最大時,△AF1F2為正三角形.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系?
②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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