如圖,橢圓的左焦點為,右焦點為,過的直線交橢圓于兩點, 的周長為8,且面積最大時,為正三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點,且與直線相交于點,證明:點在以為直徑的圓上.
(1) (2)證明過程詳見解析
【解析】
試題分析:
(1)利用橢圓的定義,可以得到三角形ABF2的周長即為2a,則可以得到a的值,由橢圓的對稱性,可以得到為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)A點在橢圓的短軸端點,此時,則可得到c的值,再根據(jù)a,c,b之間的關(guān)系可得到b的值,進而得到橢圓E的方程.
(2)據(jù)題意,直線l與橢圓E相切于點P.設(shè)出點P的坐標,利用直線與橢圓相切,聯(lián)立橢圓與直線的方程,判別式為0,即可用點P的坐標表示直線l的斜率,即得到直線l關(guān)于P坐標的表達式.聯(lián)立直線l與直線x=4即可求出點Q的坐標,把P,Q的坐標帶入內(nèi)積式,證得即可.
試題解析:
(1)由題得,因為點A,B都在橢圓上,所以根據(jù)橢圓的定義有且,又因為 的周長為8,所以
, 因為橢圓是關(guān)于x,y,原點對稱的,所以為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)為橢圓的短軸定點,則,,故橢圓E的方程為.
(2)由題得,動直線l為橢圓的切線,故不妨設(shè)切點,因為直線l的斜率是存在且為,所以,則直線,聯(lián)立直線l與橢圓E的方程得 ,.則直線l的方程為,聯(lián)立直線l與直線得到點,則
,所以,即點M在以PQ為直徑的圓上.
考點:橢圓 切線 內(nèi)積 圓
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分16分)
如圖,橢圓的左焦點為,上頂點為,過點作直線的垂線分別交橢圓、軸于兩點.⑴若,求實數(shù)的值;
⑵設(shè)點為的外接圓上的任意一點,
當(dāng)的面積最大時,求點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆四川成都六校協(xié)作體高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,橢圓的左焦點為,過點的直線交橢圓于,兩點.當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個頂點時,其傾斜角恰為.
(Ⅰ)求該橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)線段的中點為,的中垂線與軸和軸分別交于兩點,
記△的面積為,△(為原點)的面積為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省蘇州市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年上海市崇明縣高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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