Question

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線AF的垂線分別交橢圓、x軸于B，C兩點(diǎn)．
（1）若，求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P為△ACF的外接圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可得，．利用兩直線垂直的關(guān)系可求直線AB的方程，及C的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與橢圓的方程可求B，利用向量的坐標(biāo)表示可求 λ的值
（2）由已知可得△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．從而可得圓D的方程為（x-1）²+y²=4．AB為定值，要求△PAB的面積最大時(shí)，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到直線AC的距離最大．利用圓的知識(shí)求解即可
解答：解：（1）由條件得，．
因?yàn)锳B⊥AF，
所以，．
令y=0，得x=3，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
由得13x²-24x=0，解得x₁=0（舍）．
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222712479000822/SYS201311012227124790008017_DA/9.png">，所以λ＞0，且．
（2）因?yàn)椤鰽CF是直角三角形，
所以△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．
所以圓D的方程為（x-1）²+y²=4．
因?yàn)锳B為定值，
所以當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離最大．
過(guò)D作直線AC的垂線m，則點(diǎn)P為直線m與圓D的交點(diǎn)．
直線與（x-1）²+y²=4聯(lián)立得x=2（舍）或x=0，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的基本概念，直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，向量共線的坐標(biāo)表示，直線與橢圓的相交關(guān)系，及圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用，試題的運(yùn)算較多，考查了運(yùn)算的能力．