【題目】設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0.求證:{an}為等差數(shù)列的充要條件是:對任何n∈N+,都有

【答案】見解析

【解析】分析：證明必要性，注意到相鄰兩項有重復(fù)元，考慮構(gòu)造裂項，而可以幫助構(gòu)造裂項，于是裂項相消即可證明；證明充分性，注意到相鄰兩式作差可分別得到，，，和，，的關(guān)系，然后得到，，的關(guān)系，利用等差數(shù)列中項公式可得是等差數(shù)列

詳解：先證必要性.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.

若d=0,則所述等式顯然成立.

若d≠0,

再證充分性.

依題意 ①

②-①

在上式兩端同乘a1an+1an+2,得a1=(n+1)an+1-nan+2. ③

同理可得a1=nan-(n-1)an+1. ④

③-④得2nan+1=n(an+2+an),即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}是等差數(shù)列.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域相同的函數(shù)和，若存在實數(shù)，使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)，”生成的.

（1）若函數(shù)是“基函數(shù)，”生成的，求實數(shù)的值；

（2）試利用“基函數(shù)，”生成一個函數(shù)，且同時滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上的最小值為.求函數(shù)的解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合且A中任意兩數(shù)之和不能被5整除，則的最大值為（ ）

A. 17B. 18C. 15D. 16

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量a＝(cos2ωx－sin2ωx，sinωx)，b＝(，2cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，其中ω為常數(shù)，且ω∈(0，1)．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若將y＝f(x)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y＝h(x)的圖象，若關(guān)于x的方程h(x)＋k＝0在上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（　�。�

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）存在與直線2x﹣y=0垂直的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+ ，若g（x）有極大值點x1 ， 求證： ＞a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，若F（x）=f[f（x）+1]+m有兩個零點x1 ， x2 ， 則x1x2的取值范圍是（ ）
A.[4﹣2ln2，+∞）
B.（ ，+∞）
C.（﹣∞，4﹣2ln2]
D.（﹣∞， ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，ABC﹣A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（1）若AA1=AC，求證：AC1⊥平面A1B1CD；
（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值為 ，求三棱錐C1﹣A1CD的體積．

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