Question

已知函數(shù)f（x）=log 

1

a

[（a-1）x-2]．
（1）若a＞1，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）＞0在[1，

5

4

]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，解得即可．
（2）利用分類討論的思想，分a＞1和0＜a＜1，兩種情況，利用函數(shù)的單調性求得．

解答： 解（1）：由a＞1，a-1＞0，解（a-1）x-2＞0得x＞

2

a-1

∴f（x）的定義域是（

2

a-1

，+∞）
（2）：①若a＞1，則0＜

1

a

＜1，即在[1，

5

4

]上恒有0＜（a-1）x-2＜1
∵a-1＞0，
∴（a-1）x-2為單調增函數(shù)，只要

a-1-2＞0 (a-1)× 5 4 -2＜1

，
∴3＜a＜

17

5

②若0＜a＜1，則

1

a

＞1，即在[1，

5

4

]上恒有（a-1）x-2＞1
∵a-1＜0，
∴（a-1）x-2為單調減函數(shù)，只要（a-1）×

5

4

-2＞1，
∴a＞

17

5

∵0＜a＜1，∴a∈∅
綜上，a 的取值范圍為（3，

17

5

）

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)性質，和利用單調性求參數(shù)的取值范圍，關鍵是分類思想．