Question

如圖，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=

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AD，設(shè)點(diǎn)E是棱PB上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過點(diǎn)A，D，E的平面交棱PC于點(diǎn)F．
（1）求證：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，證明BC∥平面AEFD，即可證明BC∥EF；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義，確定平面角，然后根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，即可求二面角A-PB-D的余弦值．

解答： 證明：（1）∵BC∥AD，
∴BC∥平面AEFD．
又∵BC?平面BCP，EF為平面ADE與平面BCP的交線，
∴BC∥EF．
（2）連結(jié)AC交BD于O，則AO⊥BD，AO⊥PD．
∴AO⊥平面PDB．作AM⊥PB于M，連結(jié)OM．
則∠AMO為二面角APBD的平面角．
設(shè)AD=1，則PD=

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，PA=2．
AM=

PA•AB

PB

=

2

5

=

2 5

5

，AO=

2

2

．
∴sin∠AMO=

A0

AM

=

10

4

．
cos∠AMO=

1-( 10 4 )2

=

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線平行的判斷，以及空間二面角的大小求法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．